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\(\triangleright\) Définition d'un commutateur
Un commutateur est un opérateur (Opérateurs) tel que:
$$[A,B]={{AB-BA}}$$
Avec:
Propriétés
\(\triangleright\) Propriété des commutateurs
On dit que \(A\) et \(B\) commutent si:
$$[A,B]={{0}}$$
\(\triangleright\) Caractéristiques de deux matrices qui commutent
Si \(A\) et \(B\) commutent alors il existe une famille de ket propres communs aux deux matrice:
$$A\ket u_i=a_i\ket u_i\quad B\ket u-i=b_i\ket u_i$$
Avec:
\(\triangleright\) Diagonalisation et commutateurs
- Si \([A,B]=0\), alors \(A\) et \(B\) sont diagonalisables dans la même base.
- Si \(A\) et \(B\) sont diagonalisable dans la même base, alors elles commutent:
$$A\ket v_i=a_i\ket v_i\quad B\ket v_i=b_i\ket v_i$$
$$\implies [A,B]=0$$
\(\triangleright\) Base commune de valeurs propres - commutateur
Si \([A,B]=0\), \([B,C]=0\) et \([A,C]=0\) alors, il existe une base de valeurs propres commune à \(A,B,C\)
\(\triangleright\) Ensemble d'opérateur qui commutent
Si \(\{A,B,C,...\}\) est un ensemble d'opérateurs qui commutent deux à deux, alors on peut tous les diagonaliser dans une base \(\ket u_i\) avec les Valeurs propres \(\{a_i,b_i,c_i,...\}\)
ECOC
\(\triangleright\) Propriété des commutateurs
$$[A,BC]={{[A,B]C+B[A,C]}}$$
Remarque
\(\triangleright\) Règles de commutation des opérateurs position et impulsion
Il existe 3 relations entre l'opérateur \(\vec {\hat{R} }\) et \(\vec{\hat P}\) et \([ \vec{\hat R} ;\vec{\hat P}]={{\neq 0}}\):
$$[X;P_X]=i\hslash$$
$$[Y;P_Y]=i\hslash$$
A|$$[Z;P_Z]=i\hslash$$
